Question

【题目】综合与实践：

问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：

已知，在菱形ABCD中，BD为对角线，，AB=4，将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位°）．旋转后的菱形为．在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．

观察证明：

（1）如图1，若旋转角，与BD相交于点M，AB与相交于点N．请说明线段DM与的数量关系；

操作计算：

（2）如图2，连接，菱形ABCD旋转的过程中，当与AB互相垂直时，的长为 ；

（3）如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接EF，菱形ABCD旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段EF，请求出EF长度；

操作探究：

（4）如图4，在（3）的条件下，请判断以，，三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）2；（4）以，，三条线段为边的三角形是直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）根据旋转的性质利用ASA易证得，从而证得；

（2）证得点在菱形的对角线AC上，即可求解；

（3）利用等腰三角形三线合一的性质证明EF是的中位线，即可求解；

（4）以为边向外作等边三角形，利用证得，求得，即可求解．

（1），

理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB= AD．

∴∠ADB=∠ABD，

由旋转的性质可得：，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴(ASA) ，

∴；

（2）连接菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，

∵四边形ABCD是菱形，且，AB=4，

∴，

∴，则，

根据旋转的性质，且与AB互相垂直，

∴，

∴点在菱形ABCD的对角线AC上，

∴

∴；

（3）如图，连接BD，

根据旋转的性质可知：

∵ AE⊥D，

∴（等腰三角形三线合一），同理BF=F，

∴EF是的中位线，

∴，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

又∵，是等边三角形，

∴，

∴；

（4）以，，三条线段为边的三角形是直角三角形，

理由如下：

如图，以为边向外作等边三角形，连接DB，CM,

∵四边形ABCD是菱形，，

∴与是等边三角形，，

由（3）可知：与都是等腰三角形，

∴

，

∵与都是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，,

∴，

∴是直角三角形，

即以，，三条线段长度为边的三角形是直角三角形．