Question

18．命题：“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题是两边中线相等的三角形是等腰三角形．这条逆命题是真命题（填“真”或“假”）

Answer 1

分析 先写出已知、求证、画出图形，过E作EM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，求出EM=DN，证Rt△EMC≌Rt△DNB，推出∠ECB=∠DBC，证△EBC≌△DCB，推出∠EBC=∠DCB即可．

解答 解：逆命题：两边中线相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图在△ABC中，BD、CE分别是边AC和AB上的中线，CE=BD，求证：△ABC是等腰三角形，
证明：
过E作EM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，
∵BD、CE分别是边AC和AB上的中线，
∴S_△BEC=S_△BDC，
∴$\frac{1}{2}$BC×EM=$\frac{1}{2}$BC×DN，
∴EM=DN，
∵∠EMC=∠DNB=90°，
∴在Rt△EMC和Rt△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BD}\\{EM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMC≌Rt△DNB（HL），
∴∠ECB=∠DBC，
在△EBC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=BD}\\{∠ECB=∠DBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠EBC=∠DCB，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为两边中线相等的三角形是等腰三角形，真．

点评 本题考查了命题与定理以及等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．