Question

如图，⊙O半径为2，直径CD以O为中心，在⊙O所在平面内转动，当CD转动时，OA固定不动，0°≤∠DOA≤90°，且总有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC与⊙O交于E，连AD，设CE为x，四边形ABCD的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（2）当x=2

3

时，求四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比；
（3）当x取何值时，四边形ABCD为直角梯形？连EF，此时OCEF变成什么图形？（只需说明结论，不必证明）

Answer 1

（1）连接DE，过O作OH⊥BC于H，则DE⊥BC，OH∥DE，
∵CD=4，CE=x，
∴DE=

CD2-CE2

=

42-x2

=

16-x2

，
∴OH=

1

2

DE=

16-x2

2

，
∴y=S_?ABCO+S_△OAD=4×

16-x2

2

+

1

2

×4×

16-x2

2

，
=3

16-x2

（0≤x≤4），
∴x的取值范围为0≤x≤4；

（2）当x=2

3

时，
∵CE=2

3

，CD=4，
∴DE=2，∠C=30°，
∴∠DOE=60°，OH=1，
∵S_圆内部分=

60×π×22

360

+

1

2

×2

3

×1=

2π

3

+

3

，
∵S_{四边形ABCD}=3

16-x2

=3

16-12

=6，
∴S_圆内部分：S_{四边形ABCD}=

2π+3 3

18

，
∴四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比为（2π+3

3

）：18；

（3）当∠CDA=90°，
由OA=2OD，得∠DAO=30°
所以∠DCB=∠DOA=60°
此时△OCE为等边三角形，所以x=2时，四边形ABCD为直角梯形，
连EF，此时OCEF变成了菱形