Question

18．如图，直线x=2上有一点A（2，4），将抛物线y=x²的顶点在线段OA上移动到M，得到
   的抛物线与直线x=2交于P．
（1）求线段OA的解析式．
（2）抛物线在平移的过程中，求点P到x的最短距离．
（3）当线段PB最短时，平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QMA与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式；
（2）由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标，PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值，即可得到结论；
（3）根据（2）中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论：
①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标．
②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把点A坐标（2，4）代入得，4=2k，
∴k=2，
∴直线OA的解析式为y=2x；
（2）∵顶点M的横坐标为m，且点M在直线OA上，
∴顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m，
当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤x≤2），
∴点P的坐标为（2，m²-2m+4），
PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
∵0≤x≤2，当m=1时，PB最短，
即：点P到x轴的最短距离是3；
（3）当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x-1）²+2，
假设抛物线上存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，
设Q（x，x²-2x+3），
①当点Q在直线OA的下方时，过点P作直线PC∥AO，交y轴于点C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴点C的坐标为（0，-1），
∵点P的坐标为（2，3），
∴直线PC的解析式为y=2x-1，
∵△QMA的面积与△PMA的面积相等，
∴点Q在直线PC上，
∴x²-2x+3=2x-1，解得x₁=x₂=2，即点Q（2，3），
∴与点P重合，所以这样的点Q不存在．
②当点Q落在直线OA的上方时，
作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线DE函数解析式为y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴点Q落在直线y=2x+1上．
∴x²-2x+3=2x+1．
解得：x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$．
代入y=2x+1得：y₁=5+2$\sqrt{2}$，y₂=5-2$\sqrt{2}$．
∴此时抛物线上存在点Q₁（2+$\sqrt{2}$，5+2$\sqrt{2}$），Q₂（2-$\sqrt{2}$，5-2$\sqrt{2}$）
使△QMA与△PMA的面积相等．
综上所述，抛物线上存在点，Q₁（2+$\sqrt{2}$，5+2$\sqrt{2}$），Q₂（2-$\sqrt{2}$，5-2$\sqrt{2}$）使△QMA与△PMA的面积相等．

点评 本题考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、函数图象的交点、图形面积的求法等知识点，主要考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．