Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过A、C、D三点的圆O交AB于点E，连接DE、CE，∠BCE＝∠CDE．

（1）求证：直线BC为圆O的切线；

（2）猜想AD与CE的数量关系，并说明理由；

（3）若BC＝2，∠BCE＝30°，求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝EC，理由见解析；（3）

【解析】

（1）作直径CH，连接EH，根据圆周角定理可证明∠ECH+∠EHC＝90°，∠EDC＝∠EHC，然后证明∠BCH＝90°即可；

（2）猜想：AD＝CE，根据平行四边形的性质得到∠AED＝∠CDE，然后证明即可；

（3）根据平行四边形的性质求出∠BCE＝∠CDE＝∠AED＝30°，然后可得∠AOD＝60°，证明△AOD是等边三角形即可解决问题；

（1）证明：作直径CH，连接EH．

∵CH是直径，

∴∠CEH＝90°，

∴∠ECH+∠EHC＝90°，

∵∠BCE＝∠EDC，∠EDC＝∠EHC，

∴∠BCE+∠ECH＝90°，

∴∠BCH＝90°，

∴BC⊥CH，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：猜想：AD＝EC．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥CD，

∴∠AED＝∠CDE，

∴，

∴AD＝EC；

（3）解：连接OA，OD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝2，AB∥DC，

∴∠AED＝∠CDE，

∴∠BCE＝∠CDE＝∠AED＝30°，

∴∠AOD＝2∠AED＝60°，

∵OA＝OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴OA＝OD＝AD＝2，

∴S阴＝S扇形OAD﹣S△AOD

＝

＝．