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观察下列等式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,将以上三个等式两边分别相加得:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

(1)猜想并写出:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

(2)计算:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
+
1
n(n+1)
分析:(1)观察可得结果是分子均为1,分母分别为相邻2个数的分数的差;
(2)利用(1)得到的结果进行计算即可.
解答:解:(1)
1
1×2
=
1
1
-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4


1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

故答案为
1
n
-
1
n+1


(2)原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1

=
n+1-1
n+1

=
n
n+1
点评:考查分数的规律性计算;得到分子为1,分母为相邻2个数的分数的拆分方法是解决本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

观察下列等式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4

把以上三个等式两边分别相加得:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

(1)猜想并写出:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

(2)直接写出下列各式的计算结果:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
=
2008
2009
2008
2009

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1

(3)探究并计算:
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008

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科目:初中数学 来源: 题型:

附加题:
(1)已知|a-2|+|b+6|=0,则a+b=
-4
-4

(2)观察下列等式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,将以上三个等式相加得:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

①猜想并写出:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

②直接写出结果:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007

(3)在数轴上有两点,它们到原点的距离分别是2和3,问这两点之间的距离是多少?
(4)求|
1
2
-1|+|
1
3
-
1
2
|+…+|
1
99
-
1
98
|+|
1
100
-
1
99
|的值.
(5)如图所示,数轴上有四点A,B,C,D分别表示有理数a,b,c,d,用“<”把表示a,b,c,d,|a|,|b|,-|c|,-|d|的数连接起来.

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科目:初中数学 来源: 题型:

观察下列等式:
1
1×2
=1-
1
2
1
2×3
=
1
2
-
1
3
1
3×4
=
1
3
-
1
4
,将以上三个等式相加得:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

(1)猜想并写出:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

(2)直接写出结果:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007

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科目:初中数学 来源: 题型:

观察下列等式:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

(1)直接写出下列各式的计算结果:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007

(2)探究并计算:
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008

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