Question

14．甲从M地骑摩托车匀速前往N地，同时乙从N地沿同一条公路骑自行车匀速前往M地，甲到达N地后，原路原速返回，追上乙后返回到M地．设甲、乙与N地的距离分别为y₁、y₂千米，甲与乙之间的距离为s千米，设乙行走的时间为x小时．y₁、y₂与x之间的函数图象如图1．
（1）分别求出y₁、y₂与x的函数表达式；
（2）求s与x的函数表达式，并在图2中画出函数图象；
（3）当两人之间的距离不超过5千米时，能够用无线对讲机保持联系．并且规定：持续联系时间不少于15分钟为有效联系时间．求当两人用无线对讲机保持有效联系时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出B、D坐标，分0≤x≤2或2≤x≤4利用待定系数法分别求出y₁，再利用待定系数法求出y₂即可．
（2）分当0≤x≤1.5时，当1.5≤x≤2时，当2≤x≤3时，当3$≤x≤4\$时，当4≤x≤6时，分别构建一次函数即可解决问题．
（3）利用（2）的结论求出s=5时的x的值，再根据条件确定符合条件的x的范围．

解答 解：（1）由图1知摩托车的速度为：$\frac{90}{2}$=45（千米/小时），自行车的速度 $\frac{90}{6}$=15（千米/小时），
∴点B的坐标为（2，0），点D 的坐标为（4，90），
当0≤x≤2时，y₁=90-45x，
当2≤x≤4时，y₁=45x-90，
y₂=15x，
（2）甲和乙在A点第一次相遇，时间t₁=$\frac{90}{45+15}$=1.5小时，
甲和乙在C点第二次相遇，时间t₂=$\frac{90}{45-15}$=3小时，．
当0≤x≤1.5时，s=y₁-y₂=-45x+90-15x=-60x+90，
∴x=1.5时，s=0，
当1.5≤x≤2时，s=y₂-y₁=15x-（-45x+90）=60x-90，
∴x=2时，s=30，
当2≤x≤3时，s=y₂-y₁=15x-（45x-90）=-30x+90，
∴x=3时，s=0，
当3$≤x≤4\$时，s=y₁-y₂=45x-90-15x=30x-90，
∴x=4时，s=30，
当4≤x≤6时，s=90-y₂=90-15x，
∴x=6时，s=0，
故描出相应的点就可以补全图象．  如图所示，

（3）∵0≤x≤1.5，s=-60x+90，s=5时，x=$\frac{17}{12}$，
1.5≤x≤2，s=-60x-90，s=5时，x=$\frac{19}{12}$，
2≤x≤3，s=-30x+90，s=5时，x=$\frac{17}{6}$，
3≤x≤4，s=30x-90，s=5时，x=$\frac{19}{6}$，
4≤x≤6，s=-1.5x+90，s=5时，x=$\frac{17}{3}$，
∴由图象知当两人距离不超过5千米时x的取值范围为：
$\frac{17}{12}$≤x≤$\frac{19}{12}$，$\frac{17}{6}$≤x≤$\frac{19}{6}$，$\frac{17}{3}$≤x≤6，
60×（$\frac{19}{12}$-$\frac{17}{12}$）=10分钟，60×（$\frac{19}{6}$-$\frac{17}{6}$）=20分钟，60×（6-$\frac{17}{3}$）=20分钟．
∴当两人能够用无线对讲机保持有效联系时x的取值范围为：
$\frac{17}{6}$≤x≤$\frac{19}{6}$，$\frac{17}{3}$≤x≤6．

点评 本题考查一次函数的应用、分段函数、待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．