Question

13．如图，已知A（1，$\sqrt{3}$）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，试求线段OC的长度．

Answer 1

分析 先由A（1，$\sqrt{3}$），B（4，0）求出OA，AB，通过勾股定理逆定理得△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，由∠OAB的平分线AC得CE=CF，然后由△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积求出CF，在直角三角形BFC中，由三角函数求出BC，从而求出OC．

解答 解：∵A（1，$\sqrt{3}$），B（4，0），
∴OA=$\sqrt{（1-0）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$=2，
AB=$\sqrt{（4-0）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
OB=4，
2²+（2$\sqrt{3}$）²=4²，即：OA²+AB²=OB²，
∴△AOB为直角三角形，∠OAB=90°，
又∵OA=2，OB=4，
∴∠ABO=30°，
过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，
∵∠OAB的平分线AC，
∴CE=CF，
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积，
则：$\frac{1}{2}$OA•CE+$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$OA•AB，
∴CF+$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$，
解得：CF=3-$\sqrt{3}$，
在直角三角形BFC中，
BC=$\frac{CF}{sin30°}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=6-2 $\sqrt{3}$，
∴OC=OB-BC=4-（6-2 $\sqrt{3}$）=2 $\sqrt{3}$-2．

点评 此题考查的知识点是解直角三角形，关键是运用两点间的距离公式通过计算得出△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再运用三角形面积求出CF，利用直角三角形三角函数求解．