如图:AD与⊙O相切于点D.AF经过圆心与圆交于点E.F.连接DE.DF.且EF=6.AD=4．(1)证明:AD2=AE•AF,(2)延长AD到点B.使DB=AD.直径EF上有一动点C.连接CB交DF于点G.连接EG.设∠ACB=α.BG=x.EG=y．①当α=900时.探索EG与BD的大小关系?并说明理由,②当α=1200时.求y与x的关系式.并用x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4．
（1）证明：AD²=AE•AF；
（2）延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y．
①当α=90⁰时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；
②当α=120⁰时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．

分析（1）直接利用切线的性质得出∠ADE+∠EDO=90°，再利用圆周角定理得出∠ADE=∠ODF，结合相似三角形的判定与性质得出答案；
（2）①利用直角三角形的性质得出点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，进而得出EG与BD的大小关系；
②首先得出BQ=1，PQ=$\sqrt{3}$，GQ=BG-BQ=x-1，进而利用勾股定理求出答案．

解答（1）证明：连接OD
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，
∵EF是直径，
∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，
∴∠ADE=∠ODF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∴∠ADE=∠OFD，
∴△ADE∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AD}$，
即AD²=AE•AF；

（2）解：①当α=90°时，EG＞BD
理由如下：如图2，取EG的中点H，连接CH、DH、CD，
∵Rt△EDG、Rt△ECG，点H为EG的中点，
∴CH=EH=GH=DH=$\frac{1}{2}$EG，
∴点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，
∴EG＞CD，
∵Rt△ABC，DB=AD，
∴CD=DB=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴EG＞BD；

②当α=120°时，
如图3，将△ADE绕着点D旋转180°，得到△BDP，连接GP，过点P作PQ⊥BG，
由（1）AD²=AE•AF得：16=AE•（AE+6），
解得：AE=2或AE=-8（舍去），
∵△ADE≌△BDP
∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，
∵∠EDF=90°，
∴DG垂直平分EP，
∴GE=GP=y，
∵∠A+∠ABC=180°-120°=60°，
∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°，
在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，
∴BQ=1，PQ=$\sqrt{3}$，
∴GQ=BG-BQ=x-1，
在Rt△GPQ中，PQ=$\sqrt{3}$，GQ=x-1，GP=y，
∴PG²=GQ²+PQ²
即y²=（x-1）²+（$\sqrt{3}$）²，
故y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$．

点评此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理、直角三角形的性质等知识，正确表示出GQ的长是解题关键．

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