Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．
（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；
（2）设y=S_{四边形OMPC}，求y的最小值，并求此时x的值；
（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据矩形的性质求出C点坐标，利用待定系数法求出AC的解析式，求出CN的长度表达式即为P点横坐标，代入解析式即可求出P点的纵坐标，从而得到P点坐标表达式；
（2）求出AM的长度表达式，根据三角形的面积公式求出△AMP的面积表达式，用△ACO的面积减去△AMP的面积表达式即为S_{四边形OMPC}，再根据二次函数的最值求法解答；
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出x，则存在；否则不存在．
解答：解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8），
∴C点坐标为（0，8），
设AC的解析式为y=kx+b，
将A（6，0），C（0，8）代入y=kx+b得，
，
解得，
则函数解析式为y=-x+8，
∵CN=6-x，
∴y_P=-（6-x）+8=x，
则P点坐标为（6-x，x）．

（2）∵AM=AO-OM=6-x，
∴S_△AMP=×（6-x）×t=-x²+4x，
∴y=S_{四边形OMPC}
=S_△AOC-S_△AMP
=×6×8-（-x²+4x）
=x²-4x+24
=（x-3）²+18，
当x=3时，y的最小值为18．

（3）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
则=，
即=，
解得AP=x，
又∵AM=6-x，
则有：①△AMP∽△AOC时，=，即=，解得x=3秒；
②△APM∽△AOC时，，即=，解得x=秒．
综上所述，当x=3秒或x=秒时以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．
点评：本题考查了动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论．