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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B．若点D是x轴上的一动点，连接AD交圆B于点C．
    （1）当tan∠DAO=
    12
    时，求直线BC的解析式；
    （2）过点D作DP∥y轴与过B、C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；
    （3）若点P满足（2）中的条件，点M的坐标为（-3，3），求线段PM与PB的和的最小值，并求出此时点P的坐标．
    分析：（1）直径是OA，圆心为B，故B（0，1），根据tan∠1=tan∠2=
    1
    2
    ，分别解直角△OKC，△AKC可得C点坐标为（
    4
    5
    ，
    2
    5
    ），又A（0，2），可求出直线BC解析式；
    （2）本题答案不唯一，可选定点D的坐标，推出点P的坐标，最好选择关于y轴的对称点，使抛物线解析式简单一些；
    （3）由于BC=BA，PD∥y轴，则PC=PD，将问题进行转化，PM+PB=PM+PC+CB=PM+PD+CB，故只有当直线DP经过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小，由切割线定理求CD，由平行的相似三角形，利用相似比求PD，确定P点坐标．
    解答：精英家教网解：（1）如图所示，当点D在x轴的正半轴上时，连接OC，过C点作CK⊥y轴于点K．
    ∵OA为圆B的直径，点C在圆B上
    ∴∠ACO=90°
    ∴∠1=∠2
    ∵tan∠1=
    1
    2

    ∴tan∠2=
    1
    2

    设OK的长为x，则KC=2x，可得AK=4x
    ∵点A的坐标为（0，2），OK+KA=OA
    ∴点B的坐标为（0，1），5x=2
    ∴x=
    2
    5

    ∴KC=
    4
    5

    ∴点C的坐标为（
    4
    5
    ，
    2
    5
    ）
    设直线BC的解析式为y=kx+1（k≠1），
    得：
    2
    5
    =
    4
    5
    k+1
    ∴k=-
    3
    4

    ∴直线BC的解析式为y=-
    3
    4
    x+1
    当点D在x轴的负半轴上时，同理可得直线BC的解析式为y=
    3
    4
    x+1
    ∴满足题意的直线BC的解析式为y=-
    3
    4
    x+1或y=
    3
    4
    x+1．

    （2）∵DP∥y轴
    ∴DP⊥x轴
    当点D位于如图的位置时，有D（1，0）
    可得P点的纵坐标为y=-
    3
    4
    ×1+1=
    1
    4

    ∴点P的坐标为（1，
    1
    4
    ）
    如图所示，当点D的坐标为（2，0）时，△AOD为等腰三角形精英家教网
    连接OC
    ∵OA为圆B的直径
    ∴OC⊥AD
    ∴C为AD中点
    ∴BC∥OD
    又∵DP1∥y轴
    ∴点P1的坐标为（2，1）
    如图所示，类似地，可得点P2的坐标为（-2，1）
    设图象经过P、P1、P2、三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），得：
    ①
    1
    4
    =a+b+c；②1=4a+2b+c；③1=4a-2b+c
    解得a=
    1
    4
    ，b=0，c=0
    ∴图象经过这三点的二次函数的解析式为y=
    1
    4
    x2．

    （3）如图所示
    ∵AB∥PD，
    ∴PD⊥x轴，
    AB
    DP
    =
    BC
    PC

    ∵AB=BC
    ∴DP=PC精英家教网
    ∴PM+PB=PM+PC+BC
    =PM+PD+BC
    由几何知识可知，当直线DP经过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小
    又∵BC是圆B的半径
    ∴当直线BP过点M时，PM+PB的值最小
    ∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
    ∵OD=3，OA=2
    由勾股定理有AD=
    		13

    又可证DO是圆B的切线
    ∴OD2=DC•AD
    ∴CD=
    9
    		13
    ，
    则AC=AD-CD=
    4
    		13

    由△PDC∽△BAC，得：
    PD
    AB
    =
    DC
    AC

    即DP=
    AB•DC
    AC
    =
    9
    4

    ∴点P的坐标为（-3，
    9
    4
    ）．
    点评：本题综合性强，考查了直线与圆，抛物线与圆的相关知识，用形数结合的观点，只有当D，P，M三点共线时PM+PD的值最小，结合切割线定理，相似比求出P点坐标．
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    在平面直角坐标xOy中，反比例函数y=
    k
    x
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    3
    x
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    k
    x
    的图象上． 
    （l）比较y1、y2、y3的大小；
    （2）试确定a的值．

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    		2
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    （1）求∠EFC1的度数；
    （2）求线段AD1的长；
    （3）若把△OC1D1，绕点0顺时针再旋转30．得到△OC2D2，这时点B在△OC2D2的内部、外部、还是边上？证明你的判断．
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    在平面直角坐标中，已知点P（3-m，2m-4）在第一象限，则实数m的取值范围是
     
    ．

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    如图，在平面直角坐标中，已知直线y=kx+b与直线y=
    1
    2
    x    平行，分别交x轴，y轴于A，B两点，且A点的横坐标是-4，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=
    		5
    ．
    （1）求矩形ABCD的面积；
    （2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，试求点D的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为
    y=-
    6
    x
    y=-
    6
    x
    ．

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