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16.如图1,在正方形ABCD中,延长BC至M,使BM=DN,连接MN交BD延长线于点E.
(1)求证:BD+2DE=$\sqrt{2}$BM.
(2)如图2,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2,且CM=2,则线段DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

分析 (1)过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P,首先证明△DEN≌△PEM,得到DE=PE,由△BMP是等腰直角三角形可知BP=$\sqrt{2}$BM,即可得到结论;
(2)由AF:FD=1:2,可知DF:BC=2:3,由△BCN∽△FDN,可求出BC=2,再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长.

解答 (1)证明:过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠DBC=∠BDC=45°,
∴PM∥CN,
∴∠N=∠EMP,∠BDC=∠MPB=45°,
∴BM=PM,
∵BM=DN,
∴DN=MP,
在△DEN和△PEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠PEM}\\{∠P=∠NDE=45°}\\{DN=MP}\end{array}\right.$,
∴△DEN≌△PEM,
∴DE=EP,
∵△BMP是等腰直角三角形
∴BP=$\sqrt{2}$BM
∴BD+2DE=$\sqrt{2}$BM.
(2)解:∵AF:FD=1:2,
∴DF:BC=2:3,
∵△BCN∽△FDN,
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{DN}{CN}$
设正方形边长为a,又知CM=2,
∴BM=DN=a+2,CN=2a+2
∴$\frac{a+2}{2a+2}=\frac{2}{3}$,
解得:a=2,
∴DF=$\frac{4}{3}$,BM=4,BD=2$\sqrt{2}$,
又∵△DFG∽△BMG,
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{DF}{BM}$,
∴$\frac{DG}{2\sqrt{2}-DG}=\frac{\frac{4}{3}}{4}$,
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用,运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键.

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