分析 （1）根据直线BC的解析式，可确定B、C的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定待定系数的值．
（2）①矩形有两个顶点在AB边上（设这两点为D、E），首先设出DG的长为m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段，可求得GF的表达式，进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值，从而确定出矩形的四顶点的坐标；
②矩形有一个顶点在AB边上（设为D），此时C、F重合，方法同①，首先设DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的长，进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式，从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值，进而确定矩形的四个顶点坐标．
（3）分点P在点A的左边与右边两种情况，根据点P的坐标表示出AP的长，再利用∠OBC的正弦值表示出PM，根据轴对称的性质表示出PQ，利用∠QPH的正弦表示出QH，余弦表示出PH，从而可以表示出OH，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．
解答 
解：（1）直线y=$\frac{1}{2}$x-2中，令y=0，则x=4；令x=0，则y=-2；
故B（4，0），C（0，-2）；
由于抛物线经过点C（0，-2），故c=-2；
将B点坐标代入y=$\frac{1}{2}$x2-bx-2中，得：b=-$\frac{3}{2}$；
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）根据（1）中的函数解析式可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）；
则AB=5，AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$；
故AC2+BC2=5+20=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
分两种情况讨论：
①如图1所示，矩形DEFG中D、E在AB边上；
设DG=EF=m；
由于FG∥x轴，则△CGF∽△CAB，
$\frac{2-m}{2}$=$\frac{FG}{5}$，
解得，FG=5-$\frac{5}{2}$m；
∴矩形的面积S=DG•FG=（5-$\frac{5}{2}$m）m=-$\frac{5}{2}$m2+5m，
即S=-$\frac{5}{2}$（m-1）2+$\frac{5}{2}$，
∴m=1时，矩形的面积最大为2.5；
此时D（-$\frac{1}{2}$，0），E（2，0），G（-$\frac{1}{2}$，-1），F（2，-1）；
②如图2所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB边上；
设DE=CG=n，同①可得：即DG=2$\sqrt{5}$-2n，
∴矩形的面积S=DE•DG=（2$\sqrt{5}$-2n）n=-2（n-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）2+$\frac{5}{2}$；
即当n=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，矩形的最大面积为2.5；
OD=OB-BD=$\sqrt{5}$，
即D（$\sqrt{5}$，0）；综上所述，矩形的最大面积为2.5，此时矩形在AB边上的顶点坐标为（-$\sqrt{5}$，0），（2，
0）或（$\sqrt{5}$，0）．
（3）根据（1）中的函数解析式可知B（4，0），C（0，-2），则OB=4，OC=2，BC=2$\sqrt{5}$．
①如图③，当点P在点A的右边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴BP=4-t，PM=BP•sin∠OBC=（4-t）•$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-t），
∵P、Q两点关于直线BC轴对称，PQ交BC于点M，
∴PQ=2PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（4-t），
QH=PQ•sin∠QPH=PQ•cos∠OBC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（4-t）×$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$（4-t），
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•sin∠OBC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（4-t）×$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$（4-t）．
当点P在原点的右侧时，OH=OP+PH=t+$\frac{2}{5}$（4-t）=$\frac{3t}{5}$+$\frac{8}{5}$．
∵△PQH与△APM相似，
∴tan∠OAB=tan∠PQH，
解得t=-16（舍去），或t=8，
②当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP•sin∠OAB=（4-t），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=（4-t），
QH=PQ•sin∠QPH，
PH=PQ•cos∠QPH，
当点P在点O右侧时，OH=OP+PH，
∵△OQH与△APM相似，
∴tan∠OAB=tan∠OAB，
当点P在点O左侧时，OH=OP-PH，
∵△OQH与△APM相似，
∴tan∠OAB=tan∠OAB，
解得t=-16或t=8（舍去）
综上所述，存在t的值，t=0或t=或t=-16或t=8，使△OQH与△APM相似．
点评 本题是对二次函数的综合考查，主要涉及二次函数与坐标轴的交点，锐角三角形函数，相似三角形对应边成比例，解直角三角形，（3）要分点P在点A的左右两边两种情况讨论，根据点P的位置的不同，分别列出OH的不同表示是解题的关键，还要根据相似三角形对应边不明确需要分情况讨论．
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如图，在△ABC中，DC：BC=1：3，BO：OE=4：1，那么CE：EA=1．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．