如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).
⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求
①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;
②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;
⑶探求⑵中得到的函数y在x取何值时,存在最大值,并求出最大值.
(1)x,D点(2)①y=x2,②.当2<x<3时,y=;
当3≤x≤6时,y= (3) 当x=时,y最大=
解析试题分析:⑴根据题意等边△EFG,已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,设E点移动距离为x(x>0).那么EF=2x-x=x,所以△EFG的边长是x;当x=2时,EF=2,等边△EFG,则过G点做EF上的高交EF于M点,这高GM也是EF的中线,则BM=BE+EM=2+1=3,在△EFG中,由三角函数定义得GM=;在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°,过D做BC边上高,交BC于N点,四边形ABND是矩形,AD=BN,则AB="DN=" ,所以G与D点重合
⑵①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=x2;
②分两种情况:
Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,
∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.
由于在Rt△NMG中,∠G=60°,
所以,此时 y=x2-(3x-6)2=.
Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,
∵EC=6-x,
∴y=(6-x)2=
⑶当0<x≤2时,∵y=x2在x>0时,y随x增大而增大,
∴x=2时,y最大=;
当2<x<3时,∵y=在x=时,y最大=;
当3≤x≤6时,∵y=在x<6时,y随x增大而减小,
∴x=3时,y最大=.
综上所述:当x=时,y最大=.
考点:直角梯形,等边三角形,二次函数,三角函数
点评:本题考查直角梯形,等边三角形,二次函数,三角函数,解答本题需要清楚直角梯形的常规辅助线做法,及性质,等边三角形的性质,怎么能二次函数的关系式和其最值,掌握三角函数的定义,会运用三角函数来求直角三角形的边
科目:初中数学 来源: 题型:
A、3cm | B、7cm | C、3cm或7cm | D、2cm |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com