Question

在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

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∠ABC．
（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；
（2）如图2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）先根据旋转的性质得BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，则∠E′BE=∠ABC，再利用∠DBE=

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2

∠ABC易得∠DBE′=∠DBE，根据“SAS”判断△BDE′≌△BDE，所以DE′=DE；
（2）以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，利用等腰直角三角形的性质得∠BCE=∠BAD=45°，利用旋转的性质得∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，则∠DAE′=90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可计算出DE′=2

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，然后就根据（1）的结论即可得到DE=DE′=2

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．

解答：（1）证明：∵以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），
∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，
∴∠E′BE=∠ABC，
∵∠DBE=

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2

∠ABC，
∴∠DBE=

1

2

∠E′BE，即∠DBE′=∠DBE，
在△BDE′和△BDE中，

BD=BD ∠DBE′=∠DBE BE′=BE

，
∴△BDE′≌△BDE（SAS），
∴DE′=DE；
（2）解：以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，
∵∠ABC=90°，BA=BC，
∴∠BCE=∠BAD=45°，
∵△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA，
∴∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，
∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°，
在Rt△DAE′中，∵DE′²=AD²+AE′²=4²+2²=20，
∴DE′=2

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，
由（1）的结论得DE=DE′=2

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．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理．