Question

11．在⊙O中，弦BC垂直平分半径OD，BC交OD于K，延长DO交DO于A，连接AB、AC
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若弧BM=弧DM，CM交BD于点P，连接KP，求sin∠BKP；
（3）在（2）的条件下，若PK=2$\sqrt{3}$，求点D到MC的距离．

Answer 1

分析 首先证明△OBD是等边三角形，再证明AB=AC，∠ACB=∠D=60°即可解决问题．
（2）如图2中，连接CD，作PN⊥CD交CD的延长线于N，PF⊥AD于F，PE⊥BC于E．首先证明，PN=PF，PN=PE，推出PE=PF，推出∠PKE=∠PKF即可解决问题．
（3）如图3中，连接CD，作DF⊥CM于F，PE⊥BC于E．只要证明△PDF是等腰直角三角形，求出PD即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OB．

∵弦BC垂直平分半径OD，
∴BK=CK，BO=BD=OD，
∴AB=AC，△OBD是等边三角形，
∴∠ACB=∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．

（2）如图2中，连接CD，作PN⊥CD交CD的延长线于N，PF⊥AD于F，PE⊥BC于E．

由（1）可知，∠BAC=∠ADB=60°，
∵∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠BDC=120°，
∴∠BDN=∠BDA，
∴PN=PF，
∵$\widehat{BM}$=$\widehat{MD}$，
∴∠MCB=∠MCD，
∴PE=PN，
∴PE=PF，∵PF⊥AD于F，PE⊥BC于E，
∴∠PKE=∠PKF，∵∠BKD=90°，
∴∠BKP=45°，
∴sin∠BKP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）如图3中，连接CD，作DF⊥CM于F，PE⊥BC于E．

在Rt△PEK中，∵∠PKE=45°，PK=2$\sqrt{3}$，
∴EK=PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•PK=$\sqrt{6}$，
在Rt△BEK中，∵∠PBE=30°，PE=$\sqrt{6}$，
∴BE=$\sqrt{3}$PE=3$\sqrt{2}$，BP=2PE=2$\sqrt{6}$，
在Rt△BDK中，∵∠BDK=30°，BK=BE+EK=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴BD=BK÷cos30°=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$，
∴DP=BD-PB=2$\sqrt{2}$，
∵∠CPD=∠PBC+∠NCM=30°+15°=45°，
∴DF=DP•sin45°=2$\sqrt{2}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的判定和性质、垂径定理、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、角平分线的判定定理以及性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用角平分线的判定定理以及性质定理，属于中考压轴题．