Question

（2009•新昌县模拟）上课时老师出示了下面的题目：
如图1，正△ABC中，P为BC上一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G．
求证：PE+PF=BG．
喜欢思考的小明，给出了如下证法：
证明：连接AP，∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP
又PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC
∴

1

2

AC•BG=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF
∵AB=AC
∴BG=PE+PF
老师非常赞赏，面积法证明本题真简洁!老师又引导学生继续探索．
（1）当点P在CB延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，探究三条线段之间PE，PF，BG之间的数量关系．写出猜想，不要求证明．
（2）①将“P为BC上一点”改成”P为正△ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，M，G．有类似结论吗？请写出结论并证明．
②若点P在如图所示的位置时，①的结论是否成立？试探究四条线段PE，PF，PM，BG的数量关系．

Answer 1

分析：（1）连接PA，根据△PAB的面积等于△ABC的面积加上△PAC的面积，根据三角形的面积公式代入得出

1

2

AB×PE=

1

2

AC×BG+

1

2

AC×PF，即可推出答案；
（2）①连接PA、PB、PC，根据S_△ABC=S_△APB+S_△ACP-S_△PBC和三角形的面积公式得出

1

2

AC×BG=

1

2

AB×PE+

1

2

AC×PF-

1

2

BC×PM，即可推出答案；②连接PA、PB、PC，与①类似根据三角形的面积公式能推出BG+PM=PE+PF，即可求出答案．

解答：（1）
BG=PE-PF，
理由是：连接PA，
∵S_△PAB=S_△ABC+S_△PAC，
∴

1

2

AB×PE=

1

2

AC×BG+

1

2

AC×PF，
∵AB=AC，
∴PE=BG+PF，
即BG=PE-PF．
（2）
①解：如图3，PM+PE+PF=BG，
理由是：连接PA、PB、PC，
∵S_△ABC=S_△APB+S_△ACP+S_△PBC，
∴

1

2

AC×BG=

1

2

AB×PE+

1

2

AC×PF+

1

2

BC×PM，
∵AC=AB=BC，
∴PE+PF+PM=BG．

②解：BG=PE+PF-PM，
理由是：连接PA、PB、PC，
∵S_△ABC+S_△PBC=S_△PAB+S_△PAC，
∴

1

2

AC×BG+

1

2

BC×PM=

1

2

AB×PE+

1

2

AC×PF，
∵AC=AB=BC，
∴BG+PM=PE+PF，
即BG=PE+PF-PM．

点评：本题综合考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，垂线等知识点的应用，关键是依据已知证明问题的思路进行推理和证明，主要培养学生观察问题的能力，用的数学思想是类比推理的思想．