如图.已知正方形ABCD的边长为4cm.动点P从点B出发.以2cm/s的速度.沿B→C→D方向.向点D运动,动点Q从点A出发.以1cm/s的速度.沿A→B方向.向点B运动．若P.Q两点同时出发.运动时间为ts．(1)连接PD.PQ.DQ.求当t为何值时.△PQD的面积为11cm2,(2)当点P在BC上运动时.是否存在这样的t.使得△PQD是以PD为一腰的等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．
（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm²；
（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）分类讨论：当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，利用面积的和差可得到16-

•4•t-

•（4-t）•2t-

•4•（4-2t）=11，解得t₁=-1，t₂=3，都不合题意舍去；当点P在CD上时，即2＜t≤3，如图2，根据三角形面积公式得到

•4（8-2t）=11，解得t=

（不合题意舍去），所以不存在t的值，使△PQD的面积为11cm²；
（2）分类讨论：如图2，当DP=DQ时，易证得Rt△DPC≌Rt△DAQ，得到PC=AQ，即4-2t=t，解得t=

；当PD=PQ时，利用勾股定理，在Rt△PBQ中得到PQ²=（2t）²+（4-t）²，在Rt△PBCD中得到PD²=（4-2t）²+4²，则（2t）²+（4-t）²=（4-2t）²+4²，整理得t²+8t-16=0，解得t₁=-4

-4（舍去），t₂=4

-4，
所以当t=

或4

-4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．

解答：解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，

AQ=t，BQ=4-t，BP=2t，PC=4-2t，
∵S_△PDQ=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△CPD，
∴16-

•4•t-

•（4-t）•2t-

•4•（4-2t）=11，
整理得t²-2t-3=0，解得t₁=-1，t₂=3，都不合题意舍去；
当点P在CD上时，即2＜t≤3，如图2，AQ=t，DP=8-2t，
∵S_△PDQ=

BC•DP，
∴

•4（8-2t）=11，解得t=

（不合题意舍去），
∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm²；
（2）存在．
如图2，AQ=t，BQ=4-t，BP=2t，PC=4-2t（0≤t≤2），
当DP=DQ时，
∵DC=DA，

∴Rt△DPC≌Rt△DAQ，
∴PC=AQ，即4-2t=t，解得t=

；
当PD=PQ时，
在Rt△PBQ中，PQ²=PB²+BQ²=（2t）²+（4-t）²，
在Rt△PBCD中，PD²=PC²+CD²=（4-2t）²+4²，
∴（2t）²+（4-t）²=（4-2t）²+4²，
整理得t²+8t-16=0，解得t₁=-4

-4（舍去），t₂=4

-4，
∴t=

或4

-4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．

点评：本题考查了圆的综合题：掌握利用代数法解决有关动点问题；记住三角形的面积公式；会解一元二次方程；体会分类讨论的思想在解决数学问题中的作用．

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