【题目】 己知抛物线向右平移2个单位,再向下平移3个单位后恰好经过点.
(1)求平移后抛物线的解析式;
(2)点A在平移后物线上,点A在该抛物线对称轴的右侧,将点A绕着原点逆时针旋转90°得到点B,设点A的横坐标为t;
①用t表示点B的坐标;
②若直线,且与平移后抛物线只有一个交点C,当点到直线AC距离取得最大值时,此时直线AC解析式.
【答案】(1);(2)①,②
【解析】
(1)根据二次函数平移性质“左加右减,上加下减”求出解析式;
(2)①根据旋转性质和全等三角形的判定证出,即可求出B的坐标;
②利用待定系数法求出的解析式,发现恒过顶点F,根据垂线段最短即可求出当点到直线AC距离取得最大值时,,从而求出AC的解析式.
解(1)∵抛物线向右平移2个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线解析式为
∴将代入得.
∴
(2)①如下图所示,过点A作AG⊥x轴于G,过点B作BH⊥x轴于H
点A坐标为,故
根据旋转可得.
故.
又.
∴
∴
∴点
②连接DF
令直线的解析式为,则.
∴即
因为直线,故可以设直线l:
联立:,得.
因为直线l与抛物线只有一个交点
∴即
所以直线
联立方程为:.
解得:,故点C纵坐标为
即点.
令直线,代入两点坐标得:
解得:
即
显然直线恒过定点F,令点D到的距离为d,则.
所以,此时.
由于,
∴直线与x轴的夹角呈45°,
∴直线解析式为:
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A,顶点B的坐标为(﹣2,﹣2).
(1)求a,b的值;
(2)在y轴正半轴上取点C(0,4),在点A左侧抛物线上有一点P,连接PB交x轴于点D,连接CB交x轴于点F,当CB平分∠DCO时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接PC,在PB上有一点E,连接EC,若∠ECB=∠PDC,求点E的坐标.
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【题目】如图1,在四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的直径,AE⊥BD,垂足为点E,交BC于点F.
(1)求证:FA=FB;
(2)如图2,分别延长AD,BC交于点G,点H为FG的中点,连接DH,若tan∠ACB=,求证:DH为⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下,若DA=3,求AE的长.
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【题目】如图,把矩形ABCD沿EF,GH折叠,使点B,C落在AD上同一点P处,∠FPG=90°,△A′EP的面积是8,△D′PH的面积是4,则矩形ABCD的面积等于_____.
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【题目】某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数(间)与每间标准房的价格(元)的数据如下表:
(元) | … | 190 | 200 | 210 | 220 | … |
(间) | … | 65 | 60 | 55 | 50 | … |
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.
(2)求关于的函数表达式、并写出自变量的取值范围.
(3)设客房的日营业额为(元).若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时.客房的日营业额最大?最大为多少元?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线G:y=ax2﹣2ax+4(a≠0).
(1)当a=1时,
①抛物线G的对称轴为x= ;
②若在抛物线G上有两点(2,y1),(m,y2),且y2>y1,则m的取值范围是 ;
(2)抛物线G的对称轴与x轴交于点M,点M与点A关于y轴对称,将点M向右平移3个单位得到点B,若抛物线G与线段AB恰有一个公共点,结合图象,求a的取值范围.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(﹣1,0)、B(3,0)两点,且交y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长;
(3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点M,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=10,AC=8,求DE的长.
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【题目】在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个.
(1)先从袋子中取出m(m>1)个红球,再从袋子中随机摸出1个球,将“摸出黑球”记为事件A,请完成下列表格;
(2)先从袋子中取出m个红球,再放入m个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个黑球的概率等于,求m的值.
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