Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别从A、B两点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动的时间为t秒，当其中某一点到达点A时，运动停止，运动过程中，点P关于直线AQ的对称点记为点M．

（1）点P点在线段AB上运动，点Q在线段BC上运动时，请用含t的式子表示出△APQ的面积S；

（2）当点P在线段BC上运动，且△ABP∽△PCQ时，求t的值；

（3）若点Q在线段CD上，且以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）S＝t2 （2） （3）当t＝1＋时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形

【解析】试题分析：（1）底AP=2t，高BQ=t，根据三角形性的的面积公式求解即可；

（2）根据相似三角形的性质列方程求解；

（3）分四种情况，①点P在BC上，点Q在CD上，此时不合题意；②点P和点Q都在CD上，P在Q的左边，此时不合题意；③点P和点Q都在CD上，P在Q的又边，根据勾股定理列方程求解；④点P在AD上，点Q在CD上，根据勾股定理列方程求解.

解：（1）AP=2t，BQ=t，∴S＝t2.

（2）如图1，由△ABP∽△PCQ可知，此时点Q在线段CD上，∴，

即，

∴，解得，

∵，∴.

（3）①当3＜t≤时，如图2，以A、P、Q、M为顶点的四边形不可能是菱形；

②当＜t≤4时，如图3，以A、P、Q、M为顶点的四边形不可能是菱形；

③当4＜t≤时，如图4，若PA＝PQ，则以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，即32＋(11－2t)2＝(2t－t－4)2，整理得t2－12t＋38＝0，方程无解；

④当＜t≤7时，如图5，若PA＝PQ，则以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，即(2t－11)2＋(7－t)2＝(14－2t)2，解得t＝1±，

∵＜t≤7，∴t＝1＋.

∴当t＝1＋时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形.