Question

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段______．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中给出的定义，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是损矩形的直径．
（2）根据直角三角形斜边上中线的特点可知：此点应是AC的中点，那么可作AC的垂直平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心．
（3）本题可用面积法来求解，具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解，四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积；三角形ABD的面积已知了AB的长，那么可过D作AB边的高，那么这个高就应该是BD•sin45°，以此可得出三角形ABD的面积；三角形BDC的面积也可用同样的方法求解，只不过AB的长，换成了BC；再看三角形ABC的面积，已知了AB的长，可用含BC的式子表示出ABC的面积；而三角形ACD的面积，可用正方形面积的四分之一来表示；而正方形的边长可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．因此可得出关于BC的方程，求解即可得出BC的值．
解答：解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；

（2）作图如图：

∵点P为AC中点，
∴PA=PC=AC．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BP=DP=AC，
∴PA=PB=PC=PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；

（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴，
∴AD=CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD=，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S_△ABD=AB×h=2AB=6，
S_△ABC=AB×BC=BC，
S_△BDC=BC×h=2BC，S_△ACD=S_{正方形ACEF}=AC²=（BC²+9），
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=S_△ABD+S_△BCD
∴BC+（BC²+9）=6+2BC
∴BC=5或BC=-3（舍去），
∴BC=5．
点评：本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，圆的内接四边形等知识点．（3）中如果无法直接求出线段的长，可通过特殊的三角形用面积法来求解．