Question

已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-

3

4

=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在这样的实数k，使x₁²+x₂²=

1

2

？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）根据题意得△=（2k+1）²-4×（k²-

3

4

）＞0，
解得k＞-1；

（2）不存在．理由如下：
x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-

3

4

，
∵x₁²+x₂²=

1

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

1

2

，
∴（2k+1）²-2（k²-

3

4

）=

1

2

，
∴k=-1，
∵k＞-1，
∴不存在这样的实数k，使x₁²+x₂²=

1

2

．