Question

16．已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AD平分∠BAC交弦BC于F，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DF=2，AF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{DH}{AC}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{3}$，根据三角形的中位线的性质得到OH=$\frac{1}{2}$AC，根据相似三角形的性质得到$\frac{CF}{DE}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，设CF=3k，DE=4k，得到CH=4k，BC=8k，BF=5k，根据相交弦定理得到k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求得DE=CH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}-{D}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；
（2）∵OD∥AC，
∴△ACF∽△DHF，
∴$\frac{DH}{AC}=\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CH=BH，
∵AO=OB，
∴OH=$\frac{1}{2}$AC，
∵CF⊥AE，DE⊥AE，
∴CF∥DE，
∴△ACF∽△AED，
∴$\frac{CF}{DE}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
设CF=3k，DE=4k，
∴CH=4k，
∴BC=8k，
∴BF=5k，
∴AF•DF=CF•BF，
∴12=15k²，
∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=CH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-{D}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵DH=$\frac{1}{3}$AC，
∴DH=$\frac{1}{4}$AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴CE=DH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴OH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴OD=OH+DH=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相交弦定理，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．