Question

17．如图、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段AC上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用t（单位：秒）表示．
（1）求线段AB的长；
（2）求当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理直接计算即可求出AB的长；
（2）分两种情况进行讨论，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值和当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可；

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）∵点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段AC上以同样的速度从点A向点C运动，
∴AP=AB-BP=5-t，AQ=t，
当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
则AQ：AB=AP：AC，
∴t：5=5-t：4，
∴t=$\frac{25}{9}$；
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴AQ：AC=AP：AB，
∴t：4=5-t：5
∴t=$\frac{20}{9}$，
当t=$\frac{25}{9}$或$\frac{20}{9}$时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP∽△ABC相似．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质；此题运用函数的思想，列出函数表达式，再利用函数列出表达式代入数值进行求解，关键是第二步分两种情况进行讨论，不要漏掉．