Question

【题目】已知：直线m∥n，点A，B分别是直线m，n上任意两点，在直线n上取一点C，使BC=AB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．

（1）如图1，当点E在线段AC上，且∠AFE=30°时，求∠ABE的度数；

（2）若点E是线段AC上任意一点，求证：EF=BE；

（3）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，若∠ABC=90°，请判断线段EF与BE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）EF=BE，见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠FAB=∠ABC，根据三角形内角和定理解答即可；

（2）以点E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM，证明△AEB≌△MEF，根据全等三角形的性质证明；

（3）在直线m上截取AN=AB，连接NE，证明△NAE≌△ABE，根据全等三角形的性质得到EN=EB，∠ANE=∠ABE，证明EN=EF，等量代换即可．

（1）∵m∥n，

∴∠FAB=∠ABC，

∵∠BEF=∠ABC，

∴∠FAB=∠BEF，

∵∠AHF=∠EHB，∠AFE=30°，

∴∠ABE=30°；

（2）如图1，以点E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM，

∴EM=EA，

∴∠EMA=∠EAM，

∵BC=AB，

∴∠CAB=∠ACB，

∵m∥n，

∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC，

∴∠MAC=∠CAB，

∴∠CAB=∠EMA，

在△AEB和△MEF中，

，

∴△AEB≌△MEF（AAS）

∴EF=EB；

（3）EF=BE．

理由如下：如图2，在直线m上截取AN=AB，连接NE，

∵∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°，

∵m∥n，

∴∠NAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°，

在△NAE和△ABE中，

，

∴△NAE≌△ABE（SAS），

∴EN=EB，∠ANE=∠ABE，

∵∠BEF=∠ABC=90°，

∴∠FAB+∠BEF=180°，

∴∠ABE+∠EFA=180°，

∴∠ANE+∠EFA=180°

∵∠ANE+∠ENF=180°，

∴∠ENF=∠EFA，

∴EN=EF，

∴EF=BE．