Question

【题目】如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是上一动点．

（1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为　 　；

（2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求的长；

（3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）如图，补全图形，运用圆内接四边形的性质求解即可；

（2）要想求弧长，就得求所对的圆心角的度数，所以要连接OQ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出∠1=30°，再利用平行线截得内错角相等得出∠2的度数，代入弧长公式计算即可．

（3）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=OO′=．

（1）补全图形如图所示，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BCA=45°，

∵四边形ACBQ是圆内接四边形，

∴∠AQB+∠C=180°，

∴∠AQB=180°-∠C=135°

故答案为：135°；

（2）如图1，连接OQ，

∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，

∴OP＝2，OQ＝4，

∵PQ∥OA，

∴∠BPQ＝∠AOB＝90°，

∴∠OQP＝30°，

∴∠AOQ＝∠OQP＝30°，

∴的长＝＝π；

（3）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，ON，

则OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝3，点O′是所在圆的圆心，

∴O′C＝OB＝4，

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，

∴O′C⊥AO，

∴O′C∥OB，

∴∠POO'＝∠CO'M＝∠PO'M，

∵∠PMO'＝∠QMO'＝90°，

∴∠O'PM＝∠MNO'，

∴O'P＝O'N＝OP＝3，

∴四边形OPO'N是平行四边形，

∴O'P＝ON，

∵O与O'关于PQ对称，

∴ON＝O'N＝3，

∴BP＝CN＝4﹣3＝1，

∵PN⊥OO'，

∴∠MNO'＝∠MNO，

∴∠BPO'＝∠CNO，

∴△O'BP≌△OCN（SAS），

∴∠O'BP＝∠OCN＝90°，

∴四边形OCO′B是矩形，

在Rt△O′BP中，O′B＝＝2，

在Rt△OBO′中，OO′＝＝2，

∴OM＝OO′＝×2＝，

即O到折痕PQ的距离为．