【题目】正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E、F分别在OC、OB上,且OE=OF.
(1)如图1,若点E、F在线段OC、OB上,连接AF并延长交BE于点M,求证:AM⊥BE;
(2)如图2,若点E、F在线段OC、OB的延长线上,连接EB并延长交AF于点M.
①∠AME的度数为 ;
②若正方形ABCD的边长为3,且OC=3CE时,求BM的长.
【答案】(1)见解析;(2)①90° ;②
【解析】
(1)由“SAS”可证△AOF≌△BOE,可得∠FAO=∠OBE,由余角的性质可求AM⊥BE;
(2)①由“SAS”可证△AOF≌△BOE,可得∠FAO=∠OBE,由余角的性质可求∠AME的度数;
②由正方形性质可求AC=6,可得OA=OB=OC=3,AE=7,OE=4,由勾股定理可求BE=5,通过证明△OBE∽△MAE,可得,可求ME的长,即可得BM的长.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
∵AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°,OE=OF
∴△AOF≌△BOE(SAS)
∴∠FAO=∠OBE,
∵∠OBE+∠OEB=90°,
∴∠OAF+∠BEO=90°
∴∠AME=90°
∴AM⊥BE
(2)①∵四边形ABCD是正方形
∴AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
∵AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°,OE=OF
∴△AOF≌△BOE(SAS)
∴∠FAO=∠OBE,
∵∠OBE+∠OEB=90°,
∴∠FAO+∠OBE=90°
∴∠AME=90°
故答案为:90°
②∵AB=BC=3,∠ABC=90°
∴AC=6
∴OA=OB=OC=3
∵OC=3CE
∴CE=1,
∴OE=OC+CE=4,AC=AC+AE=7
∴BE==5
∵∠AME=∠BOE=90°,∠AEM=∠OEB
∴△OBE∽△MAE
∴
∴
∴ME=
∴MB=ME-BE=-5=
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【题目】阅读后,请解答.
已知,符合表示大于或等于的最小正整数,如,,,….
⑴填空:________,________,若,则的取值范围是________.
⑵某市的出租车收费标准规定如下:以内(包括)收费元,超过的每超过,加收元(不足的按计算).用表示所行的千米数,表示行应付车费,则乘车费可按如下的公式计算:当<≤(单位:)时,(元);当(单位:)时,(元).某乘客乘车后付费元,该乘客所行的路程的取值范围是________.
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【题目】某商店有一台不准确的天平(其臂长不等)及砝码.某顾客要购买糖果,售货员先将砝码放于左盘,置一些糖果于右盘,使之平衡后给顾客;又将砝码放于右盘,另置糖果于左盘,平衡后再倒给顾客,这种称法是否合理?[提示:当天平(不准确)平衡后,所挂重物与臂长成反比].
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【题目】某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位:小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图:
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图
(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数
(3)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数
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【题目】(1)先化简,再求值: x﹣2(x﹣y2)+(﹣2x+y2),其中x=2,y=﹣3
(2)已知:若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为最小正整数,求代数式﹣2cd+﹣m的值
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE、CF
探究与猜想:若∠BAE=36°,求∠B的度数.
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【题目】观察一组数据:2,4,7,11,16,22,29,…,它们有一定的规律,若记第一个数为a1,第二个数记为a2,…,第n个数记为an.
(1)请写出29后面的第一个数;
(2)通过计算a2-a1,a3-a2,a4-a3,…由此推算a100-a99的值;
(3)根据你发现的规律求a100的值.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,∠ADC=3∠BAD,BD=8,DC=7,则AB的值为( )
A. 15 B. 20 C. 2+7 D. 2+
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【题目】某校中午学生用餐比较拥挤,为建议学校分年级错时用餐,李老师带领数学学习小组在某天随机调查了部分学生,统计了他们从下课到就餐结束所用的时间,并绘制成统计表和如图所示的不完整统计图.
根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)表中a=_____,b=_____,c=_____,补全频数分布直方图;
(2)此次调查中,中位数所在的时间段是_____min.
时间分段/min | 频(人)数 | 百分比 |
10≤x<15 | 8 | 20% |
15≤x<20 | 14 | a |
20≤x<25 | 10 | 25% |
25≤x<30 | b | 12.50% |
30≤x<35 | 3 | 7.50% |
合计 | c | 100% |
(3)这所学校共有1200人,试估算从下课到就餐结束所用时间不少于20min的共有多少人?
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