Question

11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象顶点为M（2，9）且过点C（8，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①若F的横坐标为3，求S的值；
②是否存在点F，使点E也落在该二次函数图象上．若存在，求出F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点将抛物线的解析式变形为顶点式，代入点C的坐标，求出a值，再代入抛物线解析式中即可得出结论；
（2）①过点D作DM∥x轴，交CF于点M，由点F的横坐标找出点F的坐标，利用待定系数法求出直线CF的解析式，结合点D的纵坐标，找出点M的坐标，利用平行四边形的面积找出S的值；
②假设存在，设出点F的坐标，根据平行四边形的性质找出点E的坐标，根据二次函数图象上点的坐标特征找出关于t的方程，解方程求出t的值，将其代入点F的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象顶点为M（2，9），
∴二次函数的解析式为y=a（x-2）²+9，
将点C（8，0）代入y=a（x-2）²+9中，
得：0=a×（8-2）²+9=36a+9，解得：a=-$\frac{1}{4}$，
∴该二次函数的表达式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+9=-$\frac{1}{4}$x²+x+8．
（2）①过点D作DM∥x轴，交CF于点M，如图1所示．
当x=3时，y=-$\frac{1}{4}$×（3-2）²+9=$\frac{35}{4}$，
∴F（3，$\frac{35}{4}$）．
设直线CF的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=8m+n}\\{\frac{35}{4}=3m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{7}{4}}\\{n=14}\end{array}\right.$，
∴直线CF的解析式为y=-$\frac{7}{4}$x+14．
当y=4时，有-$\frac{7}{4}$x+14=4，
解得：x=$\frac{40}{7}$，
∴M（$\frac{40}{7}$，4），
∴DM=$\frac{40}{7}$．
∵F（3，$\frac{35}{4}$），C（8，0），
∴S=DM•（y_F-y_C）=$\frac{40}{7}$×$\frac{35}{4}$=50．
②假设存在，设点F的坐标为（t，-$\frac{1}{4}$t²+t+8），
∵四边形CDEF为平行四边形，C（8，0），D（0，4），
∴点E的坐标为（t-8，-$\frac{1}{4}$t²+t+12），
∵点E在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+x+8上，
∴-$\frac{1}{4}$t²+t+12=-$\frac{1}{4}$（t-8）²+（t-8）+8=-$\frac{1}{4}$t²+5t-16，
解得：t=7，
∴点F的坐标为（7，$\frac{11}{4}$）．
故存在点F（7，$\frac{11}{4}$），使点E也落在该二次函数图象上．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）①熟练掌握平行四边形面积的算法；②根据二次函数图象上点的坐标特征得出关于t的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．