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    （2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
    （1）求AD的长及抛物线的解析式；
    （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
    （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
    （2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．
    （3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：
    ①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；
    ②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．
    解答：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
    ∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
    由题意，△BDC≌△EDC．
    ∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
    由勾股定理易得EO=6．
    ∴AE=10-6=4，
    设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
    解得，x=3，∴AD=3．
    ∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）
    ∴
    9a+3b=10
    64a+8b=0
    ，
    解得
    a=-
    2
    3
    b=
    16
    3

    ∴抛物线的解析式为：y=-
    2
    3
    x2+
    16
    3
    x．

    （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
    ∴∠DEA=∠OCE，
    由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
    而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
    当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
    ∴
    CQ
    AE
    =
    CP
    DE
    ，即
    t
    4
    =
    10-2t
    5
    ，
    解得t=
    40
    13
    ．
    当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
    ∴
    PC
    AE
    =
    CQ
    DE
    ，即
    10-2t
    4
    =
    t
    5
    ，
    解得t=
    25
    7
    ．
    ∴当t=
    40
    13
    或
    25
    7
    时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

    （3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
    ①
    EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；
    则：M（4，
    32
    3
    ）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，-
    14
    3
    ）；
    ②EC为平行四边形的边，则EC
    ∥
    .
    MN，设N（4，m），则M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
    将M（-4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=-38，此时 N（4，-38）、M（-4，-32）；
    将M（12，m-6）代入抛物线的解析式中，得：m=-26，此时 N（4，-26）、M（12，-32）；
    综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
    ①M1（-4，-32），N1（4，-38）；②M2（12，-32），N2（4，-26）；③M3（4，
    32
    3
    ），N3（4，-
    14
    3
    ）．
    点评：考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．
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    k2
    x
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