Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，PC切⊙O于C，AE⊥PC交PC的延长线于E，AE交⊙O于D，PC与AB的延长线相交于点P，连接AC、BC．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若PB：PC=1：2，PB=4，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）如图所示：连结OC．

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥EP．

又∵AE⊥PC，

∴AE∥OC．

∴∠EAC=∠ACO．

又∵∠ACO=∠AOC，

∴∠EAC=∠OAC．

∴AC平分∠BAD；

（2）

解：（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°．

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC．

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC．

∵∠P=∠P，

∴△PCA∽△PBC，

∴ = ，

∴PA= =16．

∴AB=PA﹣PB=16﹣4=12．

【解析】（1）先AE∥OC，然后依据平行线的性质可得到∠EAC=∠ACO．，接下来由∠ACO=∠AOC，可证明∠EAC=∠OAC；（2）先证明∠PCB=∠PAC，从而可证明△PCA∽△PBC，依据相似三角形的性质可求得PA的长，最后依据AB=PA﹣PB求解即可．