Question

如图，△ABC中，∠BAC为锐角，以AB、AC向内作正△ABD、正△ACF，以BC为边向下作正△BCE，连接ED、EF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论．
（2）三角形ABC满足什么条件，四边形ADEF为正方形？（直接写出结论即可）
（3）若∠BAC=30°，其他条件不变，连接AE，则线段AB、AC、AE之间具有怎样的数量关系？（直接写出结论即可）

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°，可以证明AB=BD，∠ABC=∠DBE，利用边角边定理可以证明△ABC与△DBE全等，根据全等三角形对应边相等得到AC=DE，又AC=AF，所以DE=AF，同理可证EF=AD，根据两组对边相等的四边形是平行四边形判定四边形ADEF是平行四边形；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形考虑，AF=AD，所以AB=AC，又∠BAC=60°-∠BAF=60°-∠DAC，∠DAF=90°，列式进行计算即可求出∠BAC=30°时，是正方形；
（3）根据（2）的结论，∠BAC=30°时，四边形ADEF为矩形，根据勾股定理得解．

解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由如下：在正△ABD，正△BCE中，
AB=BD，BC=BE，∠ABD=60°，∠CBE=60°，
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°，
∠CBE=∠DBE+∠DBC=60°，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC与△DBE中，

AB=BD ∠ABC=∠DBE BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=DE，
又∵△ACF是正三角形，
∴AC=AF，
∴AF=DE，
同理可证AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）若四边形ADEF为正方形，
则AF=AD，∠DAF=90°，
∵AF=AC，AD=AB，
∴AB=AC，
∵∠BAC+∠BAF=∠BAC+∠DAC=60°，
∴∠BAF=∠DAC=∠DAF-60°=90°-60°=30°，
∴∠BAC=60°-30°=30°，
∴当△ABC为顶角∠BAC=30°的等腰三角形时，四边形ADEF为正方形；

（3）根据（2）的结论，当∠BAC=30°时，∠DAF=90°，
∴四边形ADEF为矩形，
∴AE²=AB²+AC²．

点评：本题考查了正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，从复杂图形中找出全等三角形并根据等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键，图形识别难度较大．