已知等边△ABC和点P.设点P到△ABC三边的AB.AC.BC的距离分别是h1.h2.h3.△ABC的高为h.请你探索以下问题:(1)若点P在一边BC上(图1).此时h1.h2.h3与h之间有怎样的关系 .(2)若当点P在△ABC内(图2).此时h1.h2.h3与h之间有怎样的关系 .此时h1.h2.h3与h之间有怎样的关系 .请写出你的猜想.并选以上3种中的一种情况说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h₁，h₂，h₃，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的关系

，
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的关系

（3）若点P在△ABC外（图3），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的关系

，
请写出你的猜想，并选以上3种中的一种情况说明理由．

考点：等边三角形的性质

专题：

分析：把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．

解答：解：

（1）h=h₁+h₂，理由如下：
连接AP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

BC•AM=

AB•PD+

AC•PF
即

BC•h=

AB•h₁+

AC•h₂
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

（2）h=h₁+h₂+h₃，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

BC•AM=

AB•PD+

AC•PF+

BC•PE
即

BC•h=

AB•h₁+

AC•h₂+

BC•h₃
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．

（3）h=h₁+h₂-h₃．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

BC•AM=

AB•PD+

AC•PE-

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．

点评：此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．

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