Question

（8分）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．

Answer 1

（1）略
（2）解析:
(1)证明：连结OE

∵ED∥OB
∴∠1=∠2，∠3=∠OED，
又OE=OD
∴∠2=∠OED
∴∠1=∠3                  （1分）
又OB="OB  " OE= OC
∴△BCO≌△BEO（SAS）                                       （2分）
∴∠BEO=∠BCO=90°    即OE⊥AB
∴AB是⊙O切线.                                              (4分)
（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：
ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=                        （5分）
∴                         （6分）
在Rt△CEG中，
∴EG=                                         （7分）
根据垂径定理得：                         （8分）