Question

如图，已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）+；（3）①，②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）．

试题分析：（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可；
（2）作B关于对称轴的对称点A，连结AC交对称轴于P，点P就是所求的点；△PBC得周长就是AC+BC；
（3）①求出直线AD的解析式，由点E的横坐标为m，可以表示出点E的纵坐标；由于F的横坐标也是m，点F在抛物线上，所以可以用m表示出F的纵坐标，由S_△ADF =S_△DEF+S_△AEF即可求出S关于m的表达式；
②把①中的函数表达式化为顶点式，即可求出最大值和点E的坐标．
试题解析：（1）由题意可知：，解得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）∵，∴C（0，3）．∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵如图1，点A、点B关于对称轴l对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点．∵AP=BP，∴△PBC的周长最小值是：PB+PC+BC=AC+BC．∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=，BC=；∴△PBC的周长最小值=+．

（3）如图2，①∵抛物线顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直线AD的解析式为，∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，），
∴EF==，
∴S=S_△DEF+S_△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH==；

②=；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）．