Question

16．已知：一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4的函数与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求线段AB的长度；
（3）在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，请直接写出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中分别令y=0、x=0，可求出A、B坐标；
（2）由（1）可求得OA、OB，在Rt△AOB中由勾股定理可求得AB的长度；
（3）设C点坐标为（x，0），可表示出BC、AC的长度，分AC=BC、AC=AB、BC=AB，可分别求出x的值，可得出C点的坐标．

解答 解：（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=0可求得x=3，令x=0可求得y=4，
∴A（3，0），B（0，4）；
（2）由A（3，0），B（0，4）可得OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
即AB的长度为5；
（3）假设存在满足条件的C点，其坐标为（x，0），
则AC=|x-3|，BC=$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
若△ABC为等腰三角形时，则有AC=BC、AC=AB或BC=AB，
①当AC=BC时，则有|x-3|=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，解得x=-$\frac{7}{6}$，此时C点坐标为（-$\frac{7}{6}$，0），
②当AC=AB时，则有|x-3|=5，解得x=8或x=-2，此时C点坐标为（8，0）或（-2，0），
③当BC=AB时，则有$\sqrt{{x}^{2}+16}$=5，解得x=3或-3，当x=3时，A、C重合，不能构成三角形，舍去，故此时C点坐标为（-3，0），
综上可知存在满足条件的C点，其坐标为（-$\frac{7}{6}$，0）或（8，0）或（-2，0）或（-3，0）．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及的知识点有函数与坐标轴的交点、勾股定理、等腰三角形的性质等．求得A、B两点的坐标是解决（1）、（2）的关键，在（3）中注意分三种情况讨论．本题主要考查基础性知识，难度不大．