Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，过C作半圆的切线，连接AC，作直线AD，使∠DAC=∠CAB，AD交半圆于E，交过C点的切线于点D．
（1）判断AD与CD有何位置关系，并说明理由；
（2）若AB=10，AD=8，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，可证明OC∥AD，可得出AD⊥CD；
（2）连接BC，可证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可求得AC．

解答：解：（1）AD⊥CD，理由如下：
如图1，连接OC，

∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=∠OCB=90°，
∴AD⊥CD；
（2）如图2，连接BC，

∵AB为直径，
∴∠ACB=∠D，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

8

AC

=

AC

10

，
∴AC=4

5

．

点评：本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径和切线垂直是解题的关键，注意相似三角形性质的应用．