Question

8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S_△AEF：S_△CAB=1：4；④AF²=2EF²．其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BCF，可得S_△AEF：S_△CAB=1：6，故③错误；
④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF²=2EF²，故④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BCF，
∴S_△AEF：S_△CAB=1：6，故③错误；
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴△AEF∽△BAF，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{BF}$，
AF²=EF•BF=2EF²，故④正确．
故选：B．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．