Question

DB是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作DB的垂线，垂足为B，BC=3，sin∠A=

3

4

，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连接OD，CD，过C作CE垂直于OD，交OD于点E，由DB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DB，且弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BDC=∠A，由sinA的值得出sin∠BDC的值，在直角三角形BDC中，利用锐角三角函数定义由BC的长求出CD的长，再利用勾股定理求出BD的长，由四边形BCED为矩形得到对边相等，可得出BC=ED，EC=DB，设圆的半径为r，用OD-ED表示出OE，在直角三角形OEC中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，即为圆的半径．

解答：解：连接OD，CD，过C作CE⊥OD，交OD于点E，

∵DB为圆O的切线，
∴OD⊥DB，∠BDC=∠A，
又sinA=

3

4

，BC=3，CB⊥BD，
∴在Rt△BCD中，sin∠BDC=

BC

CD

=sinA=

3

4

，
解得：CD=4，
根据勾股定理得：BD=

CD2-BC2

=

7

，
∵四边形BCED为矩形，
∴BC=ED=3，EC=DB=

7

，
设OC=OD=r，则OE=OD-ED=r-3，
在Rt△OEC中，根据勾股定理得：OC²=OE²+EC²，
∴r²=（r-3）²+（

7

）²，
解得：r=

8

3

，
则⊙O的半径为

8

3

．
故答案是：

8

3

．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．