Question

10、是否存在整数a、b满足a²+1998=b²．

Answer 1

分析：先假设存在a，b满足题意，把原式分解为（a+a）（a-b）=1998的形式，再分别假设a，b均为偶数；a，b一个是奇数，一个是偶数；a，b均为奇数三种情况进行讨论，得出与已知相矛盾的结果即可．

解答：解：假设存在a，b满足题意，
a²=b²+1998，
a²-b²=1998，
（a+a）（a-b）=1998，
1998=2×3×3×3×37，
如果a，b均为偶数，那么a+b为偶数，a-b也为偶数，
（a+b）（a-b）应该能被4整除，这与1998只能被2整除矛盾．
如果a，b一个是奇数，一个是偶数，那么（a+b）（a-b）=奇数×奇数=奇数，也矛盾．
如果a，b均为奇数，那么a+b为偶数，a-b也为偶数，同样矛盾．
因此不存在这样的a，b．

点评：本题考查的是数的整除性问题，利用分类讨论的思想求解是解答此题的关键．