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如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3);
(1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出点P的坐标;
(3)如果点M是抛物线在第三象限的一动点;当M点运动到何处时,M点到AC的距离最大?求出此时的最大距离及M的坐标.
分析:(1)根据抛物线解析式写出对称轴解析式即可,把点C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出k值;
(2)令y=0,解关于x的一元二次方程得到点A、B的坐标,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点P、C、B在同一直线上时,|PB-PC|的值最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可;
(3)先求出直线AC的解析式,再根据平行线间的距离相等,过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大,然后联立抛物线与直线解析式,根据△=0列式求出过点M的直线,即可得到点M的坐标,再求出直线与x轴的交点,然后利用直线与x轴的夹角为45°,利用正弦值列式计算即可求出最大距离.
解答:解:(1)抛物线y=(x+1)2+k的对称轴为直线x=-1,
把点C(0,-3)代入抛物线得,(0+1)2+k=-3,
解得k=-4;

(2)令y=0,则(x+1)2-4=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点A(-3,0),B(1,0),
由三角形的三边性质,|PB-PC|<BC,
∴当点P、C、B在同一直线上时,|PB-PC|的值最大,
此时,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
k+b=0
b=-3

解得
k=3
b=-3

∴直线BC的解析式为y=3x-3,
当x=-1时,y=3×(-1)-3=-6,
∴抛物线对称轴上存在点P(-1,-6),使得|PB-PC|的值最大;

(3)设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
-3m+n=0
n=-3

解得
m=-1
n=-3

∴直线AC的解析式为y=-x-3,
过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大,
此时,过点M的直线解析式设为y=-x+b,
联立
y=(x+1)2-4
y=-x+b

消掉y得,x2+3x-3-b=0,
△=32-4×1×(-3-b)=0,
解得b=-
21
4

过点M的直线解析式为,y=-x-
21
4

此时,x1=x2=-
3
2

y1=y2=-
15
4

∴点M的坐标为(-
3
2
,-
15
4
),
设过点M的直线与x轴的交点为D,
则由-x-
21
4
=0,得x=-
21
4

∴AD=-3-(-
21
4
)=
9
4

∵A(-3,0),C(0,-3),
∴OA=OC,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∵MD∥AC,
∴∠ODM=∠OAC=45°,
∴直线MD与AC之间的距离=
9
4
×
2
2
=
9
2
8

即M点到AC的距离最大值为
9
2
8
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了二次函数顶点式与对称轴,待定系数法求二次函数解析式,三角形的三边关系的利用,利用平行线间的距离确定点到直线的距离的最大值的方法,(2)判断出点P是直线BC与对称轴的交点是解题的关键,(3)确定出点M的位置与所在的直线是解题的关键.
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AHBG
;等腰梯形
HGEF
;平行四边形
EGFM
;梯形
DMHC
;(每种特殊四边形只能写一个,写错、多写记0分)
(2)证明其中任意一个特殊四边形;
(3)写出你证明的特殊四边形的性质.

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