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【题目】如图1,抛物线轴交于点A40),与轴交于点B,在x轴上有一动点Em0)(0m4),过点E轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点PPMAB于点M

1)求的值和直线AB的函数表达式;

2)在P点运动的过程中,请用含m的代数式表示线段PN

3)设PMN的周长为AEN的周长为,若,求m的值;

4)如图2,在(3)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为αα90°),连接,求的最小值.

【答案】(1)直线AB解析式为y=;(2)PN=m2+3m ;(3)2;(4)

【解析】试题解析:(1)(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a,根据待定系数法可以确定直线AB解析式;(2)由△PNM∽△ANE,推出,列出方程即可解决问题;(3)在y轴上 取一点M使得OM′=,构造相似三角形,可以证明AM′就是的最小值;

试题分析:

1抛物线y=ax2+a+3x+3a≠0)与x轴交于点A40),

a=﹣……………………………………………2

A40),B03),

设直线AB解析式为y=kx+b

解得

直线AB解析式为y=﹣x+3 ……………………………………………4

设点Pm,﹣m2+m+3

N在直线AB上则N

PN=m2+m+3﹣m+3=﹣m2+3m ………………………………6

3)如图1中,

PMABPEOA

∴∠PMN=AEN∵∠PNM=ANE

∴△PNM∽△ANE……………………………………………8

=

NEOB

=

AN=4﹣m),

PN=m2+m+3m+3=﹣m2+3m

=

解得m=2 ……………………………………………10

3)如图2中,在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′PEE′

OE′=2OM′OB=×3=4

OE′2=OM′OB

=∵∠BOE′=M′OE′

∴△M′OE′∽△E′OB

==

M′E′=BE′

AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+BE′最小(两点间线段最短,AM′E′共线时),

最小值=AM′==

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