Question

求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，且AM²+BN²=AB²+MN²．
求证：4（AM²+BN²）=5AB²．

Answer 1

分析：分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，可从勾股定理入手．我们分别把M，N当成所在边的中点，那么可直接利用AM²+BN²=AB²+MN²．

解答：证明：连接MN，线段MN称为△ABC的中位线，
∴MN∥AB且MN=

1

2

AB
AM²+BN²=AB²+MN²，
所以4（AM²+BN²）=4AB²+4MN²．
由于M，N是BC，AC的中点，
所以MN=

1

2

AB．
所以4MN²=AB²．
∴4（AM²+BN²）=5AB²．

点评：本题考查了中位线的平行于底边，且长度为底边的一半的性质，考查了勾股定理的运用，解本题的关键是假设M、N是中点．