Question

11．方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-y={z}^{2}}\\{{y}^{2}-z={x}^{2}}\\{{z}^{2}-x={y}^{2}}\end{array}\right.$ 的解（x，y，z）有（　　）

• A． 1组
• B． 3组
• C． 4组
• D． 7组

Answer 1

分析 先相加，得：x+y+z=0，
分四种情况进行讨论：前三种情况分别令三个字母的任意一个字母为0时，求方程组的解，第四种情况，当
x≠0，y≠0，z≠0时，依次对各方程利用平方差公式分解因式，分别将x+z=-y，x+y=-z，z+y=-x，代入得：z-x=1，x-y=1，y-z=1，组成新方程组，这个新方程组无解，所以可以得出原方程组一共有四组解．

解答 解：方程组为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-y={z}^{2}①}\\{{y}^{2}-z={x}^{2}②}\\{{z}^{2}-x={y}^{2}③}\end{array}\right.$，
①+②+③得：-x-y-z=0，
x+y+z=0，
分四种情况：
i）当x=0时，z=-y，
由①得：-y=z²
∴z²=z
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\\{{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-1}\\{{z}_{2}=1}\end{array}\right.$
ii）当x≠0，令y=0，则x=-z
由②得：-z=x²
∴x²=x
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\\{z=-1}\end{array}\right.$，
iii）当x≠0，y≠0，z=0时，
同理解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\\{z=0}\end{array}\right.$
iiii）当x≠0，y≠0，z≠0时，
得x+z=-y，x+y=-z，z+y=-x，
由①得：（x+z）（x-z）=y，
-y（x-z）=y，
当y≠0时，z-x=1，
由②得：（y-x）（y+x）=z，
-z（y-x）=z，
当z≠0时，x-y=1，
由③得：（z-y）（z+y）=x，
-x（z-y）=x，
当x≠0时，y-z=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{z-x=1}\\{x-y=1}\\{y-z=1}\end{array}\right.$，
此方程组无解，
所以原方程组有四组解，
故选C．

点评 本题考查了高次方程的解法，解高次方程的思路为：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解；所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．