Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD=4，AC=6，BC= ．

（1）AC与BD有什么位置关系？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：AC⊥BD．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO=2，AO=CO=3，

∵BC= ，

∴BO2+CO2=CB2，

∴∠BOC=90°，

∴BD⊥AC，

（2）解：是菱形．理由如下：

∵BD⊥AC，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

【解析】（1）题中已知平行四边形的两对角线的长，根据平行四边形的对角线互相平分，求出OB、OC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△BOC是直角三角形，即可得出结论。
（2）由（1）的结论BD⊥AC及已知四边形ABCD是平行四边形，可证明四边形ABCD是菱形。
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，需要了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．