Question

如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA₁，再以等腰直角三角形ABA₁的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A₁BB₁，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第2012个等腰直角三角形的面积S₂₀₁₂=

2²⁰¹⁰

．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍表示出下一个三角形的直角边，然后分别求出各个三角形的面积，不难发现，后一个三角形的面积是前一个三角形面积的2倍，然后找出规律写出第n个三角形的面积的表达式，再求解第2012个三角形的面积即可．

解答：解：根据等腰直角三角形的性质，AB=

2

OA=

2

，A₁B=

2

AB=

2

×

2

=2，A₁B₁=

2

A₁B=2

2

，
所以，第1个等腰直角△AOB的面积S₁=

1

2

×1×1=

1

2

，
第2个等腰直角△ABA₁的面积S₂=

1

2

×

2

×

2

=1，
第3个等腰直角△A₁BB₁的面积S₃=

1

2

×2×2=2，
第4个等腰直角△A₁B₁B₂的面积S₃=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
…，
依此类推，第n个等腰直角三角形的面积S_n=2^n-2，
第2012个等腰直角三角形的面积S₂₀₁₂=2²⁰¹⁰．
故答案为：2²⁰¹⁰．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，数字变化规律的考查，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍，表示出后一个三角形的直角边与前一个三角形的直角边的关系，然后得到相邻两个三角形的面积的关系是解题的关键．