Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC＝45°，BC＝1，求EF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AB=CD=BC=1，证明四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，得出AB=DE=1，CE=CD+DE=2，在Rt△CEF中，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=1，

∵AB∥CD，AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，

∴AB=DE=1，

∴CE=CD+DE=2，

∵EF⊥BC，∠ECF=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CF=CE=．