Question

1．已知：抛物线y=x²-（m+2）x+2m（m＞2）
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点，且两交点均在x轴的正半轴上；
（2）若此抛物线与x轴交于B、C两点且与y轴交于A，S_△ABC=48，求m的值；
（3）若该抛物线的顶点为P，是否存在实数m，使△PBC为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程的判别式大于零，可得函数图象与x轴有两个交点，根据公式法中小根大于零，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C，根据三角形的面积，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据根的判别式，可得方程无解，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，x²-（m+2）x+2m=0，m＞2
△=b²-4ac=[-（m+2）]²-4×2m=m²-4m+4=（m-2）²＞0，
∴x²-（m+2）x+2m=0，有两个不等式的实数根，
x₁=$\frac{m+2-（m-2）}{2}$=2＞0，x₂=$\frac{m+2+（m-2）}{2}$＞2，
（2）x²-（m+2）x+2m=0的两根是x₁=2，x₂=m，
即B（2，0），C（m，0），BC=m-2．
当x=0时，y=2m，即A（0，2m），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$CB•OA=$\frac{1}{2}$•（m-2）•2m=48，
解得m=8，m=-6（不符合题意，舍）；
（3）不否存在实数m，使△PBC为等腰直角三角形，理由如下
假设存在，抛物线的顶点坐标为（$\frac{m+2}{2}$，$\frac{-{m}^{2}+4m-4}{4}$），
由△PBC为等腰直角三角形，得
$\frac{m+2}{2}$-2=$\frac{{m}^{2}-4m+4}{4}$，
化简，得
m²-5m+10=0，
b²-4ac=25-40＜0，
方程无解，
不存在实数m，使△PBC为等腰直角三角形．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用根的判别式得出相应方程有两个不等是实数根是解（1）题关键；利用三角形的面积得出一元二次方程是解（2）的关键；利用等腰直角三角形的性质得出关于m的方程是解（3）题关键，又利用了根的判别式．