Question

如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在

CB

上取一点D，分别作直线PA、ED，交直线AB于点F、M．
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在

EB

上，仍作直线PA、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，弧CA=弧AE，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
（2）在（1）中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△EMG全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在（1）中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形就相似．
（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出弧AC=弧AE，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似．

解答：（1）解：∵AB为直径，CE⊥AB
∴

AC

=

AE

，CG=EG
在Rt△COG中，
∵OC=OA，OG=

1

2

OA，
∵OG=

1

2

OC，
∴∠OCG=30°，
∴∠COA=60°，
又∵∠CDE的度数=

1

2

CAE

的度数=

AC

的度数=∠COA的度数=60°
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°．

（2）证明：∵∠COM=180°-∠COA=120°，
∴∠COM=∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中，

GM=GM ∠CGM=∠EGM CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME，
∴△FDM∽△COM．

（3）解：结论仍成立．
∵∠EDC的度数=

1

2

CAE

的度数=

CA

的度数=∠COA的度数，
∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM
∵AB为直径，
∴CE⊥AB，
在Rt△CGM和Rt△EGM中，

GM=GM ∠CGM=∠EGM CG=EG

∴Rt△CGM≌Rt△EGM（SAS）
∴∠GMC=∠GME
∴△FDM∽△COM．

点评：本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形和相似三角形的判定及性质等知识点，根据垂径定理得出角相等是解题的关键．