Question

甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f：y=x²-2mx+2m²+2m进行探讨交流时，各得出一个结论．
甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上；
乙同学：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
（1）请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？
（2）乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m变化时，抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f顶点在第四象限时，m的取值范围．

Answer 1

解：（1）抛物线f经过原点时，2m²+2m=0 则：m₁=0或 m₂=-1
∴当m=-1时抛物线f表达式为y=x²+2x顶点（-1，-1），
当m=0时抛物线f表达式为y=x²，顶点（0，0）
由于顶点（-1，-1）和顶点（0，0）都在第三象限的平分线所在的直线上，
∴甲同学结论正确，

（2）乙同学的结论正确，
∵抛物线f的解析式y=x²-2mx+2m²+2m可变为y=（x-m）²+m²+2m
∴抛物线f的顶点为（m，m²+2m），若设抛物线f的顶点为（x，y）
则：，
∴抛物线f顶点的纵横坐标的函数关系式为：y=x²+2x，
又由于抛物线y=x²+2x的顶点为（-1，-1），与x轴的交点为（0，0），（-2，0），
抛物线开口向上．∴抛物线y=x²+2x不可能在第四象限．
即：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
分析：（1）根据抛物线f经过原点时，得到2m²+2m=0，解得：m₁=0或 m₂=-1，然后分别求出两种情况下的顶点坐标即可判断哪个同学说的正确；
（2）抛物线f的解析式y=x²-2mx+2m²+2m可变为y=（x-m）²+m²+2m得到抛物线f的顶点为（m，m²+2m），若设抛物线f的顶点为（x，y），然后求得抛物线f顶点的纵横坐标的函数关系式为：y=x²+2x，最后即可得到其不在第四象限．
点评：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意从问题中整理出二次函数模型．