分析 (1)连接OD,DE,如图,由三角形内角和定理得∠ACD+∠ADC=90°,而∠B=∠ACD,则∠B+∠ADC=90°,加上∠B=∠BDO,则∠BDO+∠ADC=90°,所以∠ODC=90°,于是根据切线的判定定理得到CD是⊙O切线;
(2)由$\frac{BD}{BO}$=$\frac{6}{5}$得$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$,再证明Rt△BDE∽Rt△CAD,利用相似三角形的性质得到$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$,然后根据比例性质得$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$,于是可计算出CD=$\frac{5}{3}$AC=5.
解答 解:(1)CD与⊙O相切.理由如下:
连接OD,DE,如图,
∵∠A=90°,
∴∠ACD+∠ADC=90°,
∵∠B=∠ACD,
∴∠B+∠ADC=90°,
∵OD=OB,
∴∠B=∠BDO,
∴∠BDO+∠ADC=90°,
∴∠ODC=180°-90°=90°,
∴OD⊥CD,
∴CD是⊙O切线;
(2)解:∵$\frac{BD}{BO}$=$\frac{6}{5}$,
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$,
∵BE是直径,
∴∠BDE=90°,
∵∠ACD=∠B,
∴Rt△BDE∽Rt△CAD,(8分)
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$,
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$,
∴CD=$\frac{5}{3}$AC=5.
点评 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.
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